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シュタイナー・レームスの定理

△ABCの
∠Bの角の2等分線とACの交点をD,
∠Cの角の2等分線とABの交点をE
|BD|=|CE|
とすると
△ABCは2等辺3角形になる
というのが

シュタイナー・レームスの定理

というのだそうですが
BDとCEの交点をOとすると
「|BD|=|CE|」という条件が無くとも
Oは内心だとはいえますが

Oは重心だとなぜいえるのでしょうか?

「|BD|=|CE|」という条件抜きには
重心だといえないと思いますので

この定理の正しい証明をお願いします

投稿日時 - 2020-03-26 10:48:09

QNo.9727669

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

> 定理の正しい証明をお願いします
例えば
http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/newpage71.html
こんな感じ。

投稿日時 - 2020-03-26 17:38:36

お礼

ご回答ありがとうございます。

△ABCは2等辺3角形でないと仮定すると
∠B≠∠C
∠B>∠Cの時左右を入れ替えると
∠B<∠C
∠B/2<∠ECA
BD上の∠DCEの内部に
∠B/2=∠ECFとなる点Fをとると、
4点E,B,C,Fは同一円周上にあり
∠BCF=(∠B+∠C)/2<90°
∠CBE<∠BCF<90°
鋭角の円周角であれば、
円周角が小さければ、それに対する
弦の長さも小さくなるので、
|EC|<|BF| よって、
|EC|<|BD|
となって|BD|=|CE|に矛盾するから
△ABCは2等辺3角形
である

ですね

投稿日時 - 2020-03-26 19:33:49

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

角の2等分線の交点であるOは一般的には重心ではありません。たとえ|BD|=|CE|であっても重心ではありません。

投稿日時 - 2020-03-26 11:31:45

お礼

ご回答ありがとうございます。
Oが重心だというのは間違いだとわかりました
では定理の正しい証明をお願いします

投稿日時 - 2020-03-26 17:19:56