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解決済みの質問

確率漸化式の問題です

高校、確率漸化式の問題です。
解答がなく、解き方もわかりません…。
ぜひ解き方を教えてください!
よろしくお願いします!

《問題》

投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ 1/2 の硬貨が3枚ある。その硬貨3枚を同時に投げる試行を繰り返す。持ち点0から始めて、1回の試行で表が3枚出れば持ち点に1が加えられ、裏が3枚出れば持ち点から1が引かれ、それ以外は持ち点が変わらないとする。n回の試行後に持ち点が3の倍数である確率をP nとする。このとき、次の各問に答えよ。

(1)P1、P2 を求めよ。( 1 と 2 は小さい字)

(2)Pn+1 をPnで表せ。(1は小さい字)

(3)Pnを nの式で表せ。

投稿日時 - 2019-12-03 00:35:20

QNo.9685679

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

1回の試行で表が3枚出るのは確率1/8
1回の試行で裏が3枚出るのは確率1/8
1回の試行でそれ以外は確率6/8=3/4

1回の試行後は確率1/8で持ち点1,確率3/4で持ち点0,確率1/8で持ち点-1
持ち点が3の倍数であるのは確率3/4です。

2回の試行後は
持ち点1だったとき,確率1/8*1/8で持ち点2,確率1/8*3/4で持ち点1,確率1/8*1/8で持ち点0
持ち点0だったとき確率3/4*1/8で持ち点1,確率3/4*3/4で持ち点0,確率3/4*1/8で持ち点-1
持ち点-1だったとき確率1/8*1/8で持ち点0,確率1/8*3/4で持ち点-1,確率1/8*1/8で持ち点-2
持ち点が3の倍数であるのは確率1/8*1/8+3/4*3/4+1/8*1/8=19/32です。

上に書いたいろいろなケースを並べ替えて持ち点で整理すると
2回の試行後に持ち点0になるのは,
持ち点が+0+0となったとき確率3/4*3/4
持ち点が+1-1となったとき確率1/8*1/8
持ち点が-1+1となったとき確率1/8*1/8
2回の試行後に持ち点1または-2になるのは,
持ち点が+0+1となったとき確率3/4*1/8
持ち点が+1+0となったとき確率1/8*3/4
持ち点が-1-1となったとき確率1/8*1/8
2回の試行後に持ち点2または-1になるのは,
持ち点が+0-1となったとき確率3/4*1/8
持ち点が+1+1となったとき確率1/8*1/8
持ち点が-1+0となったとき確率1/8*3/4
です。と,この辺まで自分で地道に計算をしていると#1さんの書いてあるような漸化式にたどり着くのです。

投稿日時 - 2019-12-03 13:04:56

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

n回の試行後、もち点が、「3の倍数」「3で割って1あまる」「3で割って2あまる」となる確率をそれぞれ、
P[n], Q[n], R[n] とすると次の3式が成り立ちます。
P[n+1]=(3/4)*P[n]+(1/8)*Q[n]+(1/8)*R[n],
Q[n+1]=(1/8)*P[n]+(3/4)*Q[n]+(1/8)*R[n],
R[n+1]=(1/8)*P[n]+(1/8)*Q[n]+(3/4)*R[n].
これを解いて、
P[n]=(1/3)*{1 + 2*(5/8)^n},
Q[n]=R[n]=(1/3)*{1 - 2*(5/8)^n}.
を得ます。
ーーーーーーーーーー
※ もちろん、P[n]+Q[n]+R[n]=1 です。

投稿日時 - 2019-12-03 07:42:30