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集合の問題で教えてください

DをC(複素数)内の領域とします。もし、Dの空出ない部分集合Aで、Dの閉かつ開集合であるようなものが存在すれば実は、A=Dである。

という命題の照明をするとき、

(1)B=D-Aとおくと、BもD内の閉かつ開集合になる。
(2)B≠φ ならば、D=A∪B,A∩B=φとなるので、Dの連結性に反する。
(3)したがって、B=φであり、A=D

と書いてあります。が、
(1)でBがD内の閉かつ開になぜなるのでしょうか?
そもそも、Dが領域ということは、開で連結なだけで、閉、という条件は持たないのではないかと思います。

よろしくお願いします。

投稿日時 - 2019-10-10 00:53:09

QNo.9665542

困ってます

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回答(3)

ANo.3

一応例を書いておくと:

D = {z ∈ C | |z| < 1 または |z| > 2} A = {z ∈ C | |z| < 1} とおくと、Aは空でなく、Dの開かつ閉集合になっていますが、D≠Aです。この場合Dは確かに連結ではありません。

投稿日時 - 2019-10-11 08:37:57

お礼

何度もアドバイス頂きありがとうございます。

この例では、Aは閉になりますか?
これの前にいただいているご回答で、DにC(複素数)の位相をいれるのかな、と思うのですが、いまいちわかりません。
すみません…もう少し教えてください。

投稿日時 - 2019-10-12 18:14:58

ANo.2

やっぱり問題を理解してない気がする...

この問題の意図は、先程も書いたように、C(複素平面)のある勝手な部分集合Dが与えられた上で、「『Dの』開集合」とはどういう定義か?を理解しておかないと、問題の意図が理解できません。もう一度確認しますが、『Dの』開集合の定義は理解していますか?

投稿日時 - 2019-10-11 08:20:11

ANo.1

『Dが連結』という事実は(2)で使っていて、(1)では別に使っていません。

(1)は、単に、前提でAはDの開集合と言っているので、B=D\Aは Dの閉集合。また同様に前提でAはDの閉集合と言っているので、B=D\AはDの開集合になる、と言っているだけです。
位相空間論からすれば当たり前ですが、「Dの開集合」「Dの閉集合」というのはここではどういう定義で出発していますか?

投稿日時 - 2019-10-10 09:38:45

お礼

回答ありがとうございます。
開、閉から開集合を抜いた時、閉、開になることは何となく・・・。
でもC(複素数)の中に、開かつ閉の集合なんてあるんでしょうか?

投稿日時 - 2019-10-11 00:22:38